Optionen: Call, Put, Auszahlung, Zeitwert und die Put-Call-Parität

In einem Satz: Eine Option ist eine Versicherung auf einen Preis, ihr Käufer zahlt vorab eine Prämie und kann danach nur noch gewinnen, und weil sich ein Call aus einem Put und dem Index nachbauen lässt, sind die Preise von Call und Put fest aneinander gekoppelt.

Was dieses Kapitel ist: eine Erklärung mit Rechenbeispielen. Die Optionspreise im Beispiel sind mit der Formel aus Kapitel 6 gerechnet (S&P 500 bei 7.000, 30 Tage Laufzeit, 16 % Vola), nicht am Markt beobachtet. Keine Handelsempfehlung.

Kapitel 4 hat gezeigt, wie eine Pensionskasse ihr Depot mit Futures absichert und dabei auch auf Gewinne verzichtet. Die Option löst genau dieses Problem.

1. Was eine Option ist

Eine Option gibt ihrem Käufer ein Recht, aber keine Pflicht:

• Ein Call ist das Recht, einen Wert zu einem festen Preis zu kaufen.
• Ein Put ist das Recht, einen Wert zu einem festen Preis zu verkaufen.

Fünf Angaben beschreiben eine Option vollständig:

Der Preis, den der Käufer für dieses Recht zahlt, heißt Prämie. Er zahlt sie sofort und bekommt sie nie zurück.

Zu jedem Käufer gehört ein Verkäufer. Er heißt Stillhalter, weil er stillhält und abwartet, ob der Käufer sein Recht nutzt. Er bekommt die Prämie und trägt dafür die Pflicht: Beim Call muss er liefern, beim Put muss er abnehmen.

Optionen auf den S&P 500 werden am Ende in Geld abgerechnet, wie der Future. Sie können nur am Verfallstag ausgeübt werden. Diese Bauart heißt europäisch. Optionen auf einzelne Aktien können jederzeit ausgeübt werden, das heißt amerikanisch. Für die Mechanik dieser Serie spielt der Unterschied keine Rolle.

2. Die Auszahlung am Verfall

Am Verfallstag ist der Wert einer Option einfach. Der Index steht dann bei $S_T$, der Basispreis ist $K$.

Call: Das Recht, zu 7.000 zu kaufen, ist nur etwas wert, wenn der Index darüber steht. Dann ist es genau die Differenz wert. Sonst verfällt es.

Put: Das Recht, zu 7.000 zu verkaufen, ist nur etwas wert, wenn der Index darunter steht.

Der Gewinn des Käufers ist die Auszahlung minus die gezahlte Prämie. Im Beispiel kosten Call und Put mit Basispreis 7.000 je 128,09 Punkte, also 12.809 USD je Kontrakt.

Drei Dinge fallen auf:

• Der Verlust des Käufers ist begrenzt. Mehr als die Prämie kann er nicht verlieren, egal wie weit der Markt gegen ihn läuft.
• Der Gewinn ist es nicht. Beim Call wächst er mit jedem Punkt, den der Index steigt.
• Recht haben reicht nicht. Bei 7.100 ist der Index gestiegen, der Call-Käufer hat trotzdem verloren. Er verdient erst oberhalb von 7.128,09, dem Basispreis plus der Prämie. Diese Marke heißt Gewinnschwelle. Beim Put liegt sie bei 6.871,91.

3. Die vier Grundpositionen

Kaufen oder verkaufen, Call oder Put: Das ergibt vier Positionen. Die Sicht des Verkäufers ist das Spiegelbild der Sicht des Käufers.

Der Käufer zahlt wenig und gewinnt selten viel. Der Verkäufer nimmt oft wenig ein und verliert selten viel. Das ist das Verhältnis zwischen Versichertem und Versicherer.

4. Absichern mit Puts statt mit Futures

Die Pensionskasse aus Kapitel 4 hält Aktien für 35 Mio. USD. Mit 100 verkauften Futures war sie gegen Verluste geschützt, aber auch von Gewinnen abgeschnitten. Jetzt kauft sie stattdessen Puts mit Basispreis 7.000.

Ein Kontrakt deckt 7.000 mal 100 USD, also 700.000 USD:

Das sind 1,83 % des Depots für 30 Tage Schutz. Der Vergleich nach einem Monat, in Mio. USD:

Mit Puts verliert die Pensionskasse im schlechtesten Fall die Prämie und behält im guten Fall den größten Teil des Gewinns. Dafür zahlt sie in jedem Fall 640.450 USD. Der Future kostet nichts und nimmt beide Seiten weg. Die Option kostet etwas und nimmt nur die schlechte Seite weg. Was dieser Schutz wert ist, also warum die Prämie 128,09 Punkte beträgt und nicht 50 oder 300, ist die Frage von Kapitel 6.

5. Innerer Wert und Zeitwert

Vor dem Verfall kostet eine Option mehr, als sie bei sofortiger Ausübung brächte. Ihr Preis hat zwei Teile.

• Innerer Wert: was die Option wert wäre, wenn sie jetzt verfiele. Beim Call $\max(S - K, 0)$, beim Put $\max(K - S, 0)$.
• Zeitwert: der Rest. Er bezahlt die Möglichkeit, dass sich der Kurs bis zum Verfall noch günstig bewegt.

Je nach Lage des Basispreises zum aktuellen Kurs hat eine Option einen von drei Namen:

• Im Geld: Die Option hat inneren Wert. Ein Call mit Basispreis unter dem Kurs, ein Put mit Basispreis darüber.
• Am Geld: Basispreis und Kurs sind gleich.
• Aus dem Geld: Die Option hat keinen inneren Wert und besteht nur aus Zeitwert.

Drei Basispreise beim Indexstand 7.000:

Zwei Beobachtungen, die später wichtig werden:

• Der Zeitwert ist am Geld am größten. Dort ist am unsichersten, ob die Option am Ende etwas wert ist.
• Call und Put mit demselben Basispreis haben denselben Zeitwert. Das ist kein Zufall. Es folgt aus der Put-Call-Parität im nächsten Abschnitt.

Mit jedem Tag, der vergeht, schmilzt der Zeitwert, bis am Verfallstag nur der innere Wert bleibt. Wie schnell, zeigt Kapitel 7.

6. Die Put-Call-Parität: Herleitung

Call und Put mit demselben Basispreis und Verfall sind keine unabhängigen Produkte. Ihr Preisunterschied steht fest. Die Herleitung braucht nur zwei Depots und einen Vergleich.

Depot A: ein Call mit Basispreis $K$, dazu so viel Geld auf dem Konto, dass es am Verfallstag mit Zinsen genau $K$ ergibt. Heute ist das der abgezinste Betrag $K \cdot e^{-rT}$.

Depot B: ein Put mit demselben Basispreis, dazu der Index selbst.

Was sind beide am Verfallstag wert?

In beiden Fällen sind die Depots gleich viel wert, nämlich den größeren der beiden Werte $S_T$ und $K$. Zwei Depots, die am Ende in jedem Fall gleich viel wert sind, müssen heute gleich viel kosten. Sonst könnte man das teurere verkaufen, das billigere kaufen und den Unterschied ohne Risiko behalten.

Umgestellt:

Der Unterschied zwischen Call- und Put-Preis hängt nur vom Index, vom Basispreis und vom Zins ab. Die Vola kommt nicht vor, und auch keine Meinung zur Richtung.

Rechenbeispiel ohne Zins. In den Beispielen dieser Serie ist der Zins meist null. Dann ist $C - P = S - K$. Am Geld ($S = K$) kosten Call und Put gleich viel: 128,09 und 128,09. Beim Basispreis 6.900 ist der Call um genau 100 Punkte teurer als der Put: 183,38 gegen 83,38.

Rechenbeispiel mit Zins. Bei 4 % Zins und 30 Tagen Laufzeit ist der abgezinste Basispreis

Der Call muss also um $7.000 - 6.977{,}02 = 22{,}98$ Punkte teurer sein als der Put. Mit der Preisformel gerechnet kostet der Call 139,69 und der Put 116,72. Die Differenz ist 22,98 (die Preise sind auf zwei Stellen gerundet).

Was passiert bei einer Abweichung? Angenommen, der Call wird 5 Punkte zu teuer gehandelt. Ein Arbitrageur baut die teure Seite nach und verkauft sie:

Am Verfallstag hebt sich alles auf, egal wo der Index steht:

Die 5 Punkte, also 500 USD je Kontrakt, bleiben als sicherer Gewinn. Weil das jeder tun kann, halten sich solche Abweichungen nicht.

7. Synthetische Positionen

Die Parität lässt sich nach jeder ihrer vier Größen auflösen. Jede Position kann also aus den drei anderen nachgebaut werden. Solche Nachbauten heißen synthetisch. Ohne Zins:

Die erste Zeile heißt: Wer einen Call kauft und einen Put mit demselben Basispreis verkauft, hat dieselbe Position wie mit einem Future. Steigt der Index, gewinnt der Call. Fällt er, verliert der verkaufte Put. Das Recht und die Pflicht zusammen ergeben wieder den Vertrag, der beide Seiten bindet.

Die letzte Zeile ist in der Praxis die wichtigste. Aktien halten und darauf Calls verkaufen heißt Covered Call und gilt als vorsichtige Strategie für einen Zusatzertrag. Nach der Parität ist es dieselbe Position wie ein verkaufter Put: begrenzter Gewinn, und der volle Verlust, wenn der Markt fällt.

Für die weiteren Kapitel zählt vor allem eine Folge: Ein Call und ein Put mit demselben Basispreis unterscheiden sich nur um eine Position im Index. Alles, was eine Option von einem Future unterscheidet, die Krümmung ihrer Auszahlung, ist bei beiden gleich. Deshalb spielt es in den Kapiteln 8 und 9 keine Rolle, ob ein Händler Calls oder Puts im Buch hat. Es zählt, ob er sie gekauft oder verkauft hat.

Häufiger Irrtum

Häufiger Irrtum: „Ein Call ist eine Wette auf steigende Kurse, ein Put eine Wette auf fallende.“ Für die Richtung braucht man keine Option, dafür genügt ein Future. Nach der Parität ist ein Call ein Put plus eine Position im Index. Der Unterschied zwischen beiden ist also nur die Richtung. Das Eigentliche einer Option ist der Knick in ihrer Auszahlung: begrenzter Verlust bei offenem Gewinn. Dafür wird die Prämie gezahlt, und deshalb verdient der Käufer an großen Bewegungen und nicht schon daran, dass er die Richtung getroffen hat.

Was du jetzt verstehen solltest

• Ein Call ist das Recht zu kaufen, ein Put das Recht zu verkaufen, jeweils zum Basispreis. Der Käufer zahlt die Prämie, der Verkäufer trägt die Pflicht.
• Am Verfall zahlt ein Call $\max(S_T - K, 0)$ und ein Put $\max(K - S_T, 0)$. Der Käufer kann höchstens die Prämie verlieren und verdient erst jenseits der Gewinnschwelle.
• Ein Future nimmt beim Absichern beide Seiten weg und kostet nichts. Ein Put nimmt nur die schlechte Seite weg und kostet die Prämie.
• Der Preis einer Option besteht aus innerem Wert und Zeitwert. Der Zeitwert ist am Geld am größten und für Call und Put mit demselben Basispreis gleich.
• Die Put-Call-Parität $C - P = S - K \cdot e^{-rT}$ koppelt die Preise aneinander. Jede Position lässt sich aus den anderen nachbauen.

Grenzen dieser Darstellung

• Europäische Ausübung. Die Parität gilt in dieser Form für Optionen, die nur am Verfallstag ausgeübt werden können, und ohne Dividenden. Mit Dividenden steht statt $S$ der um die Dividenden verminderte Kurs. Bei amerikanischen Optionen gilt sie nur näherungsweise.
• Handelskosten. Jede Option hat eine Spanne zwischen Geld- und Briefkurs (Kapitel 2). Die Arbitrage aus Abschnitt 6 lohnt sich erst, wenn die Abweichung größer ist als diese Kosten.
• Sicherheiten. Wer Optionen verkauft, muss wie beim Future eine Margin hinterlegen. Das unbegrenzte Verlustrisiko des Verkäufers ist in den Tabellen nur als Wort sichtbar.
• Nicht behandelt: Kombinationen aus mehreren Optionen wie Spreads, Straddles und Strangles.

Weiter mit Kapitel 6: wie der Preis einer Option zustande kommt, vom Münzwurf bis zur Formel von Black und Scholes.

📄 Dieses Kapitel als PDF: 8 Seiten mit Inhaltsverzeichnis, allen Formeln, Tabellen und Abbildungen.

Disclaimer: Dieses Kapitel erklärt Marktmechanik an Rechenbeispielen. Es ist keine Anlageberatung und keine Handelsempfehlung. Der Handel mit Optionen birgt Verlustrisiken bis hin zum Totalverlust, beim Verkauf von Optionen auch darüber hinaus.